Как создать матрицу в Python: инструкция

Матрицы являются одним из основных объектов в математике. Они используются для представления и манипулирования данными в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов. Их используют для решения систем линейных уравнений, определения матричных действий, преобразования координат и многого другое.

В этой статье мы опишем несколько способов создать матрицу в Python. И дополнительно рассмотрим некоторые основные операции, такие как сложение, умножение и определение обратной матрицы.

Что такое матрица

Матрица — это таблица из чисел, которая используется в математике и инженерных науках для представления данных. Матрицы имеют форму таблицы, состоящей из строк и столбцов. Каждый элемент имеет свой уникальный индекс, обозначающий строку и столбец, в котором он находится. Например, матрица размером 3x3 будет иметь 3 строки и 3 столбца, и каждый элемент будет иметь индекс вида (i, j), где i — номер строки, а j — номер столбца.

Создание матрицы

В Python существует несколько способов создания матрицы. Ниже приведены некоторые из них:

• С помощью списков. Можно создать матрицу, используя вложенные списки. Каждый вложенный список будет соответствовать одной строке. Так можно создать квадратную матрицу Python:

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

• С помощью NumPy. NumPy — это библиотека для математических вычислений и обработки данных. В ней есть класс Array, который можно использовать для создания матрицы:

import numpy as np 

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

Если вам нужно производить стандартные математические операции с матрицами, то стоит использовать NumPy. Его проще использовать и все операции уже реализованы в библиотеке. А если вы хотите самостоятельно создавать методы, например, в образовательных целях, или же планируете совершать нестандартные манипуляции, то используйте вложенные списки. 

Теперь рассмотрим матричные операции и поработаем с ними с помощью вложенных списков и NumPy.

Матричные операции

Вот список основных манипуляций:

• Сложение. Две матрицы можно сложить, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.
• Вычитание. Одну матрицу можно вычесть из другой, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен разности соответствующих элементов исходных матриц.
• Умножение на число. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число.
• Произведение матриц. Матрицы можно перемножить, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица с размером, соответствующим числу строк первой матрицы и числу столбцов второй матрицы. Более подробно эту операцию мы разберем чуть дальше.
• Транспонирование матрицы. Транспонирование — это операция, в которой строки и столбцы меняются местами. Т.е. первый столбец становится первой строкой, второй столбец — второй строкой и так далее.
• Нахождение обратной матрицы. Матрица B будет являться обратной матрицей для матрицы A, если результатом операции A*B является единичная матрица.

Сложение

Важно не забывать, что при сложении двух матриц их размеры должны совпадать.

Вот пример сложения с помощью вложенных списков и циклов:

matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] 
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] 
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

for i in range(len(matrix1)): 
         for j in range(len(matrix1[0])): 
                  result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j] 

print(result)

Результат:

[[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10]]

Вот аналогичное сложение с помощью метода add() из библиотеки NumPy:

import numpy as np 

matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]) 

result = np.add(matrix1, matrix2)

print(result)

Результат:

[[10 10 10]
 [10 10 10]
 [10 10 10]]

Вычитание 

В Python можно выполнять вычитание матриц с помощью цикла или метода subtract() из библиотеки NumPy. При вычитании размеры должны совпадать.

Вычитание с помощью цикла:

matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] 
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] 
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] 

for i in range(len(matrix1)): 
         for j in range(len(matrix1[0])): 
                  result[i][j] = matrix1[i][j] - matrix2[i][j] 

print(result)

Результат:

[[-8, -6, -4], [-2, 0, 2], [4, 6, 8]]

Вычитание с помощью метода subtract() из библиотеки NumPy:

import numpy as np 

matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]) 

result = np.subtract(matrix1, matrix2) 

print(result)

Результат:

[[-8 -6 -4]
 [-2  0  2]
 [ 4  6  8]]

Умножение на число

В Python умножение матрицы на число можно реализовать с помощью цикла или воспользоваться методом dot() из библиотеки NumPy.

При умножении матрицы на число, каждый элемент умножается на это число.

Умножение с помощью цикла:

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] 
scalar = 2 
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] 

for i in range(len(matrix)): 
         for j in range(len(matrix[0])): 
                  result[i][j] = matrix[i][j] * scalar 

print(result)

Результат:

[[2, 4, 6], [8, 10, 12], [14, 16, 18]]

Вот пример работы метода dot() из библиотеки NumPy с теми же вводными:

import numpy as np 

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 
scalar = 2 

result = np.dot(matrix, scalar)

print(result)

Результат:

[[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]

Также вместо метода dot() можно использовать знак операции умножения *:

import numpy as np 

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 
scalar = 2 

result = matrix * scalar 

print(result)

Результат:

[[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]

В большинстве случаев метод dot() работает быстрее вручную реализованных циклов.

клауд

Произведение матриц

Произведение — это операция, в результате которой получается новая матрица с числом строк первой матрицы и числом столбцов второй. При матричном умножении, число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Каждый элемент новой матрицы — это сумма произведения элементов строки первой матрицы и элементов столбцов второй матрицы, как на картинке ниже:

Как и прежде, реализуем произведение с помощью циклов и NumPy.

Умножение, реализованное на циклах, может иметь такой вид:

matrix1 = [[1, 2], [3, 4]] 
matrix2 = [[5, 6], [7, 8]] 
result = [[0, 0], [0, 0]] 

for i in range(len(matrix1)): 
         for j in range(len(matrix2[0])): 
                  for k in range(len(matrix2)): result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]

print(result)

Результат: 

[[19, 22], [43, 50]]

В NumPy для матричного умножения используется метода dot():

import numpy as np 

matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]]) 
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]]) 

result = np.dot(matrix1, matrix2) 

print(result)

Результат:

[[19 22]
 [43 50]]

Аналогично методу dot() работает операция @:

import numpy as np 

matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]]) 
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]]) 

result = matrix1 @ matrix2 

print(result)

Результат:

[[19 22]
 [43 50]]

Использование метода dot() или оператора @ даёт более быстрый, по сравнению с использованием вручную реализованных циклов, результат. 

Не забывайте, что произведение является некоммутативной операцией, то есть порядок умножения матриц имеет значение и результат будет разным, если их переставить местами.

Транспонирование

Транспонирование — это операция, в результате которой строки исходной матрицы становятся столбцами новой матрицы, а столбцы — строками.

В Python можно выполнить транспонирование с помощью свойства T или метода transpose() из библиотеки NumPy.

Пример транспонирования с использованием свойства T:

import numpy as np 
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

result = matrix.T

print(result)

Результат:

[[1 4 7]
 [2 5 8]
 [3 6 9]]

И пример транспонирования с использованием метода transpose():

import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

result = np.transpose(matrix)

print(result)

Результат:

[[1 4 7]
 [2 5 8]
 [3 6 9]]

В обоих случаях результат одинаковый.

С помощью цикла транспонирование можно реализовать следующим образом:

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] 
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

for i in range(len(matrix)):
         for j in range(len(matrix[0])): 
                  result[j][i] = matrix[i][j] 

print(result)

Результат:

[[1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9]]

Этот метод может быть медленным и неэффективным для больших матриц, поэтому для более быстрого и эффективного решения рекомендуется использовать NumPy.

Нахождение обратной матрицы

Обратная матрица — это матрица, которая при умножении на исходную матрицу в результате дает единичную матрицу (с единицами на диагонали и нулями в остальных ячейках).

В Python можно найти обратную матрицу с помощью метода inv() из библиотеки NumPy.

import numpy as np 

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]]) 

result = np.linalg.inv(matrix) 

print(result)

Результат:

[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

Если матрица не имеет обратной матрицы, то метод inv() вызовет исключение LinAlgError: Singular matrix.

Чтобы проверить, имеет ли матрица обратную, используйте метод det() из библиотеки NumPy, который возвращает определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и она не имеет обратной матрицы:

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)

if determinant == 0:
         print("The matrix does not have an inverse.")
else:
         result = np.linalg.inv(matrix)
         print(result)

Нахождение обратной матрицы с помощью циклов может быть достаточно сложным и трудоемким процессом, особенно для больших матриц. Поэтому рекомендуем использовать NumPy.

Разверните облачный сервер для своих проектов

Заключение

Матрицы являются важной концепцией в линейной алгебре и часто используются в различных областях, таких как искусственный интеллект, графика и оптимизация. В Python представлено множество инструментов для работы с матрицами, включая библиотеку NumPy. Понимание матриц и их операций может быть полезным для решения множества практических задач в различных областях.